Ecuaciones en Derivadas Parciales

Ecuaciones en Derivadas Parciales

Para resolver ecuaciones en derivadas parciales deben existir funciones de por lo menos dos variables o una ecuacion que dependa de dos o más variables. y las derivadas parciales de estas variables.

Una EDP de orden superior en cierta región se dice que es:

• Hiperbólica en Ω, si ∆ = B2 − AC > 0 en Ω.

• Parabólica en Ω, si ∆ = B2 − AC = 0 en Ω.

• Elíptica en Ω, si ∆ = B2 − AC < 0 en Ω.
  
  
  Metodo de Separación de Variables:
  
  
  El método de separación de variables, es un método que permite encontrar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales lineales. Permite resolver una gran cantidad de ecuaciones de este tipo, aunque debe saberse que no todas permiten una separación de variables.
  Con este método de busca una solución particular de la forma de un producto de una función de x y una función de y; es decir:
  
  
  Durante la aplicación del método se convierte la ecuación diferencial lineal en derivadas parciales con dos variables independientes, en dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Debe saberse para ello que:
  
  
  
  
  
  
  donde la “prima” indica derivación ordinaria.
  
  
  
  Videoejemplo:
  
  
    
   Bibliografía:
   https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales
  http://neetescuela.com/metodo-de-separacion-de-variables/
  
  
  
  
  
  

Problemas de Sturm Liuville

Problemas Regulares de Sturm Liuville

Ecuaciones Lineales de Segundo Grado

 Caso 1

Si la ecuación de segundo grado auxiliar tiene 2 raices reales λ₁ , λ₂

(b² -4ac>0)

Solución y=c₁e^λ1x+ c₂e^λ2x

Caso 2 

Si la ecuación de segundo grado auxiliar tiene 1 raíz real λ doble

(b² -4ac=0)

Solución y=c₁xe^λx+ c₂e^λx

 Caso 3 

Si la ecuación de segundo grado auxiliar tiene 2 raíces complejas λ=α+-βi

(b² -4ac<0)

Solución y=e^αx( c₁cosβx+c₂senβx)

Problema de Sturm Liouville

El número λ que se busca es el que arroja soluciones no triviales. Cada funciónsolución asociada con cada λ (valor propio o autovalor) es una función propiao autofunción. Los problemas con valores en la frontera usualmente no tienen soluciones únicas. Esto puede extrapolarse para resolver muchos problemas importantes,como veremos.

Videoejercicio:

 

Bibliografía:

http://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos.shtml

http://cmap.upb.edu.co/rid=1160670630796_1447531807_437/PROBLEMAS%20DE%20VALORES%20PROPIOS%202.cmap

23-26 de Noviembre

Series de Taylor

Propiedad:

Una función f(z) analítica en Zo, tiene un desarrollo mediante una serie de Taylor dado por: 

 
 Si Zo=0, entonces la serie de Taylor toma el nombre de serie de MacLaurin. 

Serie de Laurent

 Función en forma de serio de potencias que incluye terminos de grado negativo donde no se extiende la serio de Taylor. Alrededor de un punto c de la forma:

 

 

Siendo la integral de gama cualquier circunferencia Z-Zo=R con R1<R<R2 la serie resultante converge en D.

Propiedades 

La convergencia dado es uniforme en cualquier corona circular R1<= Z-Zo <= R con r1 < R1 < R2 < r2, siendo R1 radio externo de la corona y R2 radio interno de la corona.

 
Si f es analítica en Zo, el desarrollo de Laurent es el de Taylor.

 

 

 

 

 

 

 

16-19 de Noviembre

Sucesiones y Series de Variable Compleja

Las sucesiones y series de variable compleja tiene definiciones y propiedades similares o a las sucesiones y series de variable real . La serie que es específica de variable compleja es la serie de Laurent

La serie de Laurent nos permitirá evaluar integrales tanto complejas como reales:

 Diferenciar en sucesión y serie: Sucesión listado , serie es una suma de términos que cumple una función específica

Sucesiones

Una sucesión compleja es una función de loas naturales en los complejos:
F(n)= i ^n ; n pertenece a los naturales 
Las sucesiones se denotan: {Zn}
{i^n}= {i^0 , i^1 , i^2 , i^3 , ... i^n}
Propiedades:  Sea {Zn}= Xn + iyn, para cada n positivo y sea L=a +bi, entonces:

 Si existe el limite {Zn}=1 entonces se conluye que {Zn} es convergente, caso contrario la sucesión {Zn} no converge sino diverge.

Series 

Si sumamos los términos de una sucesión , se genera una serie que se representa: 

La convergencia de la serie compleja se determina meidante el análisis de las series reales que la conforman:

Propiedades:
Sea {Zn} = Xn + iyn entonces:

 

Series de Potencias

 

Criterios de Convergencia:

Sea Zn distinto de cero para tono n suponomos que: 

  

 

2-5 de Noviembre

Integración en el Plano Complejo 

 

Las integrales de línea del campo complejo son similares a las integrales  de línea de las funciones reales de 2 variables. En el caso de las integrales cerradas

Se presentan  novedades que sólo se cumple para funciones analíticas com son: las integrales de Cauchey y la existencia de las derivadas de orden superior.

Integrales de Linea

Sea γ curva representada por Z(t)=x(t)+iy(t)

-γ es una cuva suave si x'(t) y y'(t) son contínuas y no son simultaneamente iguales a cero en su dominio.

-γ   es una curva suave a intervalos, si está formado por curvas suaves..

 Curva en el Plano Complejo

 Conjunto Simplemente Conexo

Sea γ    u una curva suave a intervalos de z1 a z2 en su dominio simplemente conexo na curva suave o suave a intevalos de z1 a z2 en su Dominio, simplemnete conexo.



Si f(z) es analítica en D y se F'(z) = Integral f(z) en el dominio D entonces 
Integral f(z) d(Z) = f(Z2) - f(Z1)

 

 

29 de Octubre

 

 

Funciones Trascendentes Básicas 

26 de Octubre

Ecuaciones de Cauchy-Rieman